\(\dot{x} = a\left(b-x\right)x\)

Svært lik vår tidligere likning \(\dot{x} = a x\), men med en liten aldri så liten endring. Konstanten \(a\), som tidligere sto alene foran \(x\) har nå en venn, \((b-x)\). Dersom vi fortsatt behandler dette uttrykket slik som før kan vi nå tenke på det som noe som vokser i takt med seg selv ganger med \(a(b-x)\). Den vil altså slutte å vokse når \(x \rightarrow b\).

En vekst som synker når funksjonen går mot en viss verdi kan også observeres flere plasser i livet. Det kan kanskje for eksempel være sannsynligheten for å finne elektroner i forskjellige energinivå, populasjonen på en øy over tid eller sykdomsutbrudd i en pandemi.

Differensiallikningen kan løses med separasjon (pensum i R2, søk på nettet dersom du lurer), og gir:

Grafen vil stabilisere seg ved \(x=b\), da den i dette punktet har derivert lik null (se selv: \(\dot{x} = a\left(b-x\right)x\)).

Ved å sette inn \(t=0\) kan man finne \(C\) uttrykt av initialbetingelser:

Hvis vi da tar i bruk "populasjon på øy"-tolkningen av denne grafen har vi at \(a\) er reproduksjonsraten, \(b\) er landets makskapasitet og \(x(0)\) er antall kaniner som ble importert inn (eksempelvis i antall tusen).