Determinant

Determinanten til en matrise \(A\) skrives slik:

\(|A|\) eller \(det(A)\)

Determinanten til en \(2\times2\) matrise er kan regnes ut slik:

\( det\begin{bmatrix}a & b \\c & d\end{bmatrix} = \begin{vmatrix}a & b \\c & d\end{vmatrix} = ad-bc \)

Og determinanten til en \(3\times3\) matrise kan regnes ut slik:

\(det \begin{bmatrix}a & b & c \\d & e & f \\g & h & i\end{bmatrix} = \begin{vmatrix}a & b & c \\d & e & f \\g & h & i\end{vmatrix} = a \begin{vmatrix}e & f \\h & i\end{vmatrix} -b\begin{vmatrix}d & f \\g & i\end{vmatrix} +c\begin{vmatrix}d & e\\g & h\end{vmatrix} \)

Determinanten til en \(2\times2\) matrise vil være lik arealet til parallellogrammet som spennes ut av kolonnene i matrisen. Det vil si at determinanten til en matrise gitt ved

\(A= \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \)

er gitt ved arealet som spennes ut av vektorene

\(v_1 = \begin{bmatrix}a_{11} \\a_{21} \end{bmatrix}\) og \(v_2 = \begin{bmatrix}a_{12} \\a_{22} \end{bmatrix}\).

Dette kan du se i figuren under:

Hvis du leker deg litt med figuren over (du kan dra rundt på endepunktene til vektorene), vil du se at determinanten kun er 0 når kolonnene i matrisen er parallelle. I tre dimensjoner vil determinanten til en matrise være lik volumet av parallelpipedet spent ut av kolonnene i matrisen. Determinanten vil da være null dersom kolonnene i matrisen ligger i samme plan.

Du kan også se at verdien til determinanten er negativ dersom man "bytter plass" på vektorene, slik at \(v_2\) ligger under \(v_1\).