Egenverdier og egenvektor

Egenvektorene til en matrise \(A\) er alle vektorene som kun endrer lengde, og ikke endrer retning når man multipliserer dem med \(A\).

Mer spesifikt kan vi si at en egenvektor er en ikke-null vektor som, når multiplisert med en matrise, gir en skalar multiplisert med egenvektoren selv som resultat. Dette utrykkes i likningen:

\(A\vec{v} = \lambda \vec{v}\)

Der \(A\) er en matrise, \(\vec{v}\) er en egenvektor til \(A\), og \(\lambda\) er en skalar som sier hvor mye vektoren \(\vec{v}\) endrer størrelse når man ganger den med \(A\). Denne skalaren kaller vi for egenverdien til \(\vec{v}\).

Når man sier «egenverdiene til matrisen A», betyr dette alle egenverdiene til egenvektorene til A.

Hvordan finne egenverdier:

Når vi skal finne egenverdiene til en matrise, starter vi med likningen:

\(A\vec{v} = \lambda \vec{v}\)

Denne likningen kan skrives om til:

\((A - \lambda) \vec{v} = 0\)

Deretter ganger vi \(lambda\) med identitetsmatrisen:

\((A - \lambda I) \vec{v} = 0\)

Grunnen til at vi gjør dette er at det er umulig å regne ut \(A-\lambda\) dersom \(\lambda\) er et tall. Dette er lov å gjøre fordi \(\lambda\vec{v}\), som man får dersom man ganger ut parentesen før man har ganget inn identitetsmatrisen, er det samme som \(\lambda I\vec{v}\), som er det man får ved å gange ut parentesen etter å ha ganget inn identitetsmatrisen.

Det som nå står på høyre side av likningen kan kun være 0 dersom:

  1. \(\vec{v}\) er nullvektoren.
  2. \(det(A - \lambda I) = 0\)

Siden egenvektorer ikke kan være nullvektoren, er tilfelle 1 uinteressant. Grunnen til at \(det(A - \lambda I)\) må være null for at høyresiden skal være 0, er at dersom man multipliserer en matrise \(A\) med en ikke-null vektor, er det kun mulig å få 0 som resultat dersom \(det(A) = 0\).

Dette gjør at vi endrer opp med likningen:

\(det(A - \lambda I) = 0\)

Ved å løse denne likningen for \(\lambda\) kan man finne alle egenverdiene til \(A\).

Hvordan finne egenvektorer:

For å finne egenvektorene til en matrise, må man først finne alle egenverdiene. Deretter kan man sette inn egenverdiene i likningen:

\( (A - \lambda I)\vec{v} = 0\)

Denne likningen er en matrise-likning, og kan løses for å finne egenvektoren \(\vec{v}\). Hvis du er usikker på hvordan man løser denne likningen, se temaside om «Likningssett og Gauss-eliminasjon». For hver egenverdi man setter inn i likningen over, vil man finne en egenvektor. Det vil si at en matrise har like mange egenvektorer som den har egenverdier.