Lineær uavhengighet

For å forklare lineær uavhengighet, vil vi først starte med et eksempel på vektorer som er lineært avhengige. Vi lar \(\textbf{x}\), \(\textbf{y}\) og \(\textbf{z}\) være følgende vektorer:

\(\textbf{x}= \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} \space\space\space \textbf{y}= \begin{bmatrix}1 \\0 \\4 \end{bmatrix} \space\space\space \textbf{z}= \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \\ 9 \end{bmatrix} \)

Hvis du ser veldig nøye på vektorene, kan du se at \(\textbf{z}\) kan utrykkes som en lineærkombinasjon av \(\textbf{x}\) og \(\textbf{y}\). Det vil si at det er mulig å få \(\textbf{z}\) ved å summere sammen \(\textbf{x}\) og \(\textbf{y}\) slik som dette:

\(\textbf{x}\) + 2\(\textbf{y}\) = \(\textbf{z}\)

En slik lineær likhet som knytter sammen vektorer tenker vi på som en avhengighet mellom vektorene, og vi sier at vektorene \(\textbf{x}\), \(\textbf{y}\) og \(\textbf{z}\) er lineært avhengige fordi det finnes en slik sammenheng mellom dem.

Vi kan også skrive om denne likningen slik at alle vektorene står på samme side av likhetstegnet. Dette viser at nullvektoren kan skrives som en lineærkombinasjon av de tre vektorene.

\( \textbf{x}+2\textbf{y}- \textbf{z}=0\)

Dersom man har tre vilkårlige vektorer \(v_1\), \(v_2\) og \(v_3\), er det alltid mulig å utrykke nullvektoren som en lineærkombinasjon av vektorene ved å gange alle vektorene med 0:

\( 0\textbf{v}_1 + 0\textbf{v}_2 + 0\textbf{v}_3 = 0 \)

Men det er kun hvis vektorene er lineært avhengige, at man kan utrykke nullvektoren som en sum av vektorene der ikke alle koeffisientene er 0. Dette gir grunnlaget for definisjonen av lineær uavhengighet.

Hvordan sjekke om vektorer er lineært avhengige

For å sjekke om vektorer er lineært avhengige, må vi sjekke om det finnes ikke-trivielle løsninger til likningen \(\textbf{v}_1 \cdot x_1 + \textbf{v}_2 \cdot x_2 + \cdots + \textbf{v}_n \cdot x_n = 0\). La oss si at vi har følgende vektorer:

\(\textbf{u} = \begin{bmatrix}1 \\2 \\3\end{bmatrix} \), \(\textbf{v} = \begin{bmatrix}2 \\-1 \\4\end{bmatrix} \), \(\textbf{w} = \begin{bmatrix}3 \\1 \\4\end{bmatrix} \),

Vi setter inn vektorene i likningen:

\( \begin{bmatrix}1 \\2 \\3\end{bmatrix} \cdot x_1 + \begin{bmatrix}2 \\-1 \\4\end{bmatrix} \cdot x_2 + \begin{bmatrix}3 \\1 \\4\end{bmatrix} \cdot x_3 = 0\)

Ved å gjøre matrise-vektor multiplikasjon «omvendt vei» kan vi skrive om denne likningen til matriselikningen:

\( \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\2 & -1 & 1 \\3 & 4 & 4\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\0 \\0\end{bmatrix} \)

Vi prøver å løse denne likningen med Gauss-eliminasjon. Når vi løser med Gauss-eliminasjon får vi at den eneste løsningen på likningen er:

\(\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\0 \\0\end{bmatrix} \)

Derfor er den eneste løsningen på likningen triviell, og vi kan konkludere med at vektorene er lineært uavhengige.

Lineær avhengighet og entydige løsninger

En likning på formen

\(x_1\textbf{v}_1 + x_2\textbf{v}_2 + \cdots + x_n\textbf{v}_n = \textbf{w} \)

Der \(x_1, x_2, \cdots, x_n\) er ukjente konstanter, og \(\textbf{v}_1, \textbf{v}_2, \cdots, \textbf{v}_n \) er lineært uavhengige vektorer, vil alltid ha entydig løsning. (Dvs. at det kun finnes en løsning på likningen).

Ut ifra dette følger det at en matriselikning på formen \(A\textbf{x} = \textbf{v}\) alltid vil ha entydig løsning dersom kolonnene i matrisen \(A\) er lineært uavhengige.

Det er fordi hvis man gjør matrise-vektor multiplikasjon «omvendt vei» på en likning på formen \(x_1\textbf{v}_1 + x_2\textbf{v}_2 + \cdots + x_n\textbf{v}_n = \textbf{w} \), har man en matriselikning på formen \(A\mathbf{x} = \mathbf{v}\):

\(x_1 \begin{bmatrix}a_{11} \\a_{21}\end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix}a_{12} \\a_{22} \end{bmatrix} = \textbf{w} \Leftrightarrow \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\x_2\end{bmatrix} = \textbf{w} \)

Lineær avhengighet og entydige løsninger

Vi ønsker å bevise at

\(x_1\textbf{v}_1 + x_2\textbf{v}_2+ \cdots + x_n\textbf{v}_n = \textbf{w} \)

Alltid har entydig løsning dersom \(\textbf{v}_1, \textbf{v}_2, \cdots, \textbf{v}_n \) er lineært uavhengige vektorer.

Dette gjør vi ved å først anta at det finnes to forskjellige løsninger på likningen, \(x_1, x_2, \cdots, x_n = a_1, a_2, \cdots, a_n\) og \(x_1, x_2, \cdots, x_n = b_1, b_2, \cdots, b_n\). Hvis vi nå klarer å bevise at de to løsningene må være like, har vi vist at det kun finnes en løsning på likningen, som vil si at løsningen på likningen er entydig.

Dersom \(x_1, x_2, \cdots, x_n = a_1, a_2, \cdots, a_n\) og \(x_1, x_2, \cdots, x_n = b_1, b_2, \cdots, b_n\) er løsninger, vil begge disse likningene være oppfyllt:

\(a_1\textbf{v}_1 + a_2\textbf{v}_2 + \cdots + a_n\textbf{v}_n = \textbf{w} \)

\(b_1\textbf{v}_1+ b_2\textbf{v}_2 + \cdots + b_n\textbf{v}_n = \textbf{w} \)

Vi kan subtrahere likning 2 fra likning 1 for å få:

\(a_1\textbf{v}_1 - b_1\textbf{v}_1 + a_2\textbf{v}_2 - b_2\textbf{v}_2 + \cdots + a_n\textbf{v}_n - b_n\textbf{v}_n = \textbf{w} - \textbf{w} \)

Dette kan skrives om til:

\((a_1-b_1)\textbf{v}_1 + (a_2-b_2)\textbf{v}_2 + \cdots + (a_n-b_n)\textbf{v}_n = 0\)

Vi skriver nå om likningen ved å bytte ut \((a_1-b_1)\) med \(c_1\), \((a_2-b_2)\) med \(c_2\) og så videre. Da får vi

\(c_1\textbf{v}_1 + c_2\textbf{v}_2 + \cdots + c_n\textbf{v}_n = 0 \)

Siden \(\textbf{v}_1, \textbf{v}_2, \cdots, \textbf{v}_n \) er lineært uavhengige vektorer, får vi nå via definisjonen på lineært uavhengige vektorer at \(c_1 = c_2 = \cdots = c_n = 0\). Det vil si at

\((a_1-b_1) = (a_2-b_2) = \cdots = (a_n-b_n) = 0\)

Som igjen impliserer at

\(a_1 = b_1, a_2 = b_2, \cdots, a_n = b_n\)

Vi har nå vist at de to løsningene \(x_1, x_2, \cdots, x_n = a_1, a_2, \cdots, a_n\) og \(x_1, x_2, \cdots, x_n = b_1, b_2, \cdots, b_n\) må være like, og det finnes derfor kun en riktig løsning på likningen.