Matriseoperasjoner

To matriser kan kun adderes dersom de har samme størrelse. Man adderer matriser ved å plusse sammen alle elementene i matrisen slik som vist i eksempelet under:

\[ \begin{bmatrix}
1 & 4 & 3\\
4 & 2 & 0
\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}
0 & 6 & 9\\
3 & 3 & 3
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1+0 & 4+6 & 3+9\\
4+3 & 2+3 & 0+3
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 & 10 & 12\\
7 & 5 & 3
\end{bmatrix} \]

Dersom to matriser har forskjellig størresle, er det ikke mulig å addere dem.

Multiplikasjon av matrise og tall gjøres ved å multiplisere alle elementene i matrisen med tallet:

\( 2 \cdot \begin{bmatrix}
1 & 4 & 3\\
4 & 2 & 0
\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}
2\cdot1 & 2\cdot4 & 2\cdot3\\
2\cdot4 & 2\cdot2 & 2\cdot0
\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}
2 & 8 & 6\\
8 & 4 & 0
\end{bmatrix}\)

Du kan kun multiplisere en vektor med en matrise dersom matrisen har like mange kolonner som vektoren har elementer. Når man multipliserer en matrise \(A\) med en vektor \(\vec{v}\), får man ut en ny vektor \(\vec{x}\) som har like mange elementer som matrisen \(A\) har rader.

Hvert element i \(\vec{x}\) er kryssproduktet mellom vektoren \(\vec{v} \) og den korresponderende raden i matrisen A. Under er det et eksempel på hvordan dette fungerer for multiplikasjon med en \(2\times2\) matrise og en \(2 \times 3 \) matrise.

\(\begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix} \) = \( \begin{bmatrix}
x*a + y*b\\
x*c + y*d
\end{bmatrix}\)

\( \begin{bmatrix}
a & b & c\\
d & e & f
\end{bmatrix} \) \( \begin{bmatrix}x \\y \\z \end{bmatrix} \) = \(\begin{bmatrix}
x*a + y*b + z*c\\
x*d + y*e + z*f
\end{bmatrix} \)

Det å multiplisere en vektor med en matrise, kan tolkes grafisk som at man endrer på basisvektorene i rommet (koordinatsystemet) matrisen er i. I et vanlig to-dimensjonalt koordinatsystem er basisvektorene: \(\hat{i} =\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\), \( j = \begin{bmatrix}0 \\1\end{bmatrix}\).

Det vektoren \(\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} \) egentlig representerer, er at vi går \(x\) «skritt» langs basisvektoren \(\hat{i}\), og \(y\) skritt langs basisvektoren \(\hat{j}\):

\(\begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix} = x\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} + y\begin{bmatrix}0 \\1\end{bmatrix} \)

Å gange en to-dimensjonal vektor med matrisen \(A= \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}\), blir det samme som å finne de nye koordinatene til vektoren i et koordinatsystem der basis-vektorene er gjort om til \(\begin{bmatrix}a_{11} \\a_{12}\end{bmatrix}\) og \(\begin{bmatrix}a_{21} \\a_{22}\end{bmatrix}\):

\(\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix} = x\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\end{bmatrix} + y\begin{bmatrix}a_{12} \\a_{22}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}xa_{11} + y a_{12} \\xa_{21}+y a_{22}\end{bmatrix} \)

Siden matriser endrer basisvektorene, kan vi lage matriser som gjør spesielle og artige ting. Matrisen \( \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \) vil endre basisvektoren \(\hat{i}\) til en vektor med lengde 1 som peker rett oppover, og endre basisvektoren \(\hat{j}\) til en vektor med lengde 1 som peker mot venstre. Denne matrisen vil rotere alle 2d vektorer man ganger med den 90 grader mot venstre!

Dette er veldig vanskelig å forstå uten å se det grafisk, så jeg anbefaler på det sterkeste å se denne videoen av 3blue1brown om matrise-vektor-multiplikasjon: https://www.youtube.com/watch?v=kYB8IZa5AuE&t=56s

Du kan kun multiplisere sammen to matriser dersom matrisen til høyre har like mange rader (høyde) som matrisen til venstre har kolonner (bredde). Produktet av multiplikasjonen vil ha like mange rader som matrisen til venstre og like mange kolonner som matrisen til høyre.

En måte å multiplisere to matriser, er å dele opp matrisen som står til høyre slik at hver rad blir en vektor. Deretter kan man multiplisere matrisen til venstre med hver vektor hver for seg, og sette sammen vektorene slik at man ender opp med til en ny matrise. Denne fremgangsmåten er vist i eksempelet under:

\( A = \begin{bmatrix}
a & b & c\\
d & e & f
\end{bmatrix} \)

\( B = \begin{bmatrix} g & h \\ i & j \\ k & l \end{bmatrix}\)

Vi deler opp \(B\) i vektorene \(\vec{b_1} = \begin{bmatrix} g\\ i\\k \end{bmatrix}\)og \(\vec{b_2}=\begin{bmatrix} h\\ j\\l \end{bmatrix}\). Deretter ganger vi matrisen \(A\) med disse to vektorene hver for seg:

\[A \vec{b_1} = \begin{bmatrix}
a & b & c\\
d & e & f
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} g\\ i\\k \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
a*g + b*i + c*k\\
d*g + e*i + f*k
\end{bmatrix} \]

\[A \vec{b_2} = \begin{bmatrix}
a & b & c\\
d & e & f
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} h\\ j\\l \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
a*h + b*j + c*l\\
d*h + e*j + f*l
\end{bmatrix} \]

Til slutt så setter vi sammen de to vektorene vi nå har funnet til en matrise:

\[ AB = \begin{bmatrix}
a*g + b*i + c*k & a*h + b*j + c*l \\
d*g + e*i + f*k & d*h + e*j + f*l
\end{bmatrix} \]

En annen metode for å multiplisere matriser som krever litt mindre notasjon er vist i denne videoen: https://www.youtube.com/watch?v=2spTnAiQg4M

På samme måte som med matrise-vektor multiplikasjon, har 3blue1brown lagd en YouTube video som forklarer hva som faktisk skjer når man multipliserer to matriser: https://www.youtube.com/watch?v=XkY2DOUCWMU

Identitetsmatrisen kan sees på som et slags ett-tall i matrisenes verden. Vi noterer den som en stor I, noen ganger med et tall som viser størrelsen. Identitetsmatrisen er fyllt med 0-tall, bortsett fra en diagonal rad med 1-tall:

\( I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \)

\(I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} \)

\(osv… \)

Dersom man ganger et hvilket som helst tall med 1, vil ikke tallet endre seg. På samme måte, uansett hvilken matrise man ganger med \(I\), vil ikke matrisen endre seg.

Inversen til matrise \(A\) er basically bare en matrise som du kan gange A med for å få identitetsmatrisen. La oss se på matrisene A og B:

\[A = \begin{bmatrix}
1&2\\
3&4
\end{bmatrix} B = \begin{bmatrix}
-2 & 1\\
\frac{3}{2} & -\frac{1}{2}
\end{bmatrix} \]

Dersom man ganger matrise a med matrise B, vil man få identitetsmatrisen. Derfor er B inversmatrisen til A.

Man kan finne inversen til en matrise ved å bruke gauss-eliminasjon. Dette gjør man ved å skrive opp matrisen man vil finne inversen til ved siden av identitetsmatrisen av samme dimensjon. Deretter Gauss-eliminerer man helt til matrisen A er blitt gjort om til identitetsmatrisen. Matrisen som står på høyre side nå er inversmatrisen til A.