Følger og rekker

En følge er en liste med tall som er uendelig lang. På engelsk kalles følger for sequences. Følger kan defineres på tre måter:

• Vi gir de første elementene i en følge som følger et åpenbart mønster, for eksempel: \(\{1,2,3,4,5,…\}\)
• Følgen er definert eksplisitt. Vi oppgir en formel for det n-te elementet i følgen. For eksempel:
• Følgen er definert rekursivt. Det vil si at vi har en formel som gjør bla bla bla. Et eksempel på dette er Fibonacci-følgen, som kan defineres rekursivt ved: \(a_{n+1} = a_{n-1}+a_n\)

Viktige begreper for følger:

• En følge \(\{a_n\}\) er øvre begrenset av \(L\) dersom \(a_n \le L\) for alle \(n\).
• En følge \(\{a_n\}\) er nedre begrenset av \(L\) dersom \(a_n \ge L\) for alle \(n\).
• En følge \(\{a_n\}\) er er stigende dersom \(a_{n+1} \ge a_n\) for alle \(n\).
• En følge \(\{a_n\}\) er er synkende dersom \(a_{n+1} \le a_n\) for alle \(n\).
• En følge \(\{a_n\}\) er alternerende dersom \(a_na_{n+1} < 0\) for alle \(n\). For at følgen skal være alternerende må annethvert element være negativt.

Konvergens for følger:

En følge \(\{a_n\}\) konvergerer mot \(\{L\}\) dersom det for et hvert vilkårlig reelt tall \(\epsilon\) finnes en \(N\) slik at \(n > N\) impliserer

\(|{a_n-L}| < \epsilon\)

Denne definisjonen er beryktet for å være vanskelig å forstå, men det anbefales fortsatt å lese den et par ganger og prøve.

En uendelig rekke er en sum med uendelig mange ledd:

\(\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + … \)

Mattematisk kan vi definere en uendelig sum slik:

Gitt en følge av reelle tall \(a_1, a_2, …,\) kan vi definere den uendelige rekken \(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) til å være grensen av delsummene \(\sum_{n=1}^{N}a_n\):

\(\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{N}a_n \)

Fordi antall ledd vi summerer sammen i en uendelig rekke går mot uendelig, er det veldig naturlig å tenke at verdien til rekken må være uendelig, men det er feil! Hvis vi for eksempel ser på rekken \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}\). Hvis vi skriver ut de første leddene i denne rekken vil det se slik ut:

\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + …\)

Som du kanskje kan se, vil verdien til denne summen komme nærmere og nærmere \(1\) for hvert ledd vi legger til, men den totale verdien til summen vil aldri bli mer enn \(1\). Derfor kan vi si at rekken konvergerer mot \(1\). I omvendt tilfelle, der verdien til rekken faktisk går mot uendelig når vi tar med fler og fler ledd, sier vi at rekken divergerer.

Den matematiske definisjonen av konvergens i rekker lyder slik:

Geometrisk rekke

En geometrisk rekke er en rekke på formen

\(\sum_{n=1}^{\infty}a r^{n-1}\)

Dersom \(-1 < k < 1\), konvergerer rekken til \(\frac{a}{1-r}\).

P-rekke

En p-rekke er en rekke på formen:

\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \)

P-rekker konvergerer dersom \(p>1\), og divergerer dersom \(p \le 1\).

Dersom \(p=2\) konvergerer rekken til \(\frac{\pi^2}{6} \)

Det vanligste spørsmålet dere vil få om rekker i dette faget, er om en rekke konvergerer eller ikke. For å avgjøre dette har vi noen såkalte konvergenstester, som man kan bruke til å avgjøre om en rekke konvergerer. Det spørsmålet alle studenter stiller er: Hvilken konvergenstest skal man bruke? Dessverre finnes det ikke noe veldig enkelt svar på dette spørsmålet. Det beste tipset jeg kan gi er å øve på oppgaver, og etter hvert får du en slags intuisjon for hvilken test som du burde bruke på de forskjellige typer rekkene.

Konvergens ved endring av start på rekken

Gitt et vilkårlig positivt heltall \(N\), dersom rekken

\(\sum_{n=N}^{\infty} a_n\)

Konvergerer, konvergerer også rekken

\(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)

Sammenlikne med kjent rekke

Gitt to rekker \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n\) og \(\sum_{n=1}^{\infty}b_n\), der \(b_n\) har kun positive ledd eller kun negative ledd, dersom:

• \(\sum_{n=1}^{\infty}b_n\) konvergerer, og \(|a_n| <= |b_n|\) for \(n >= k\), der k er et vilkårlig heltall, konvergerer også \(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)

Sammenlikningstesten

Dersom

\(\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| \)

Konvergerer, konvergerer også

\(\sum_{n=1}^{\infty} a_n \)

Forholdstesten

La \(\{a_n\}\) være en følge, og la

\(\rho = \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}{a_n}\).

Dersom:

• \(|\rho|>1 \) er \(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) divergent.
• \(|\rho|<1 \) er \(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) konvergent.
• \(|\rho|=1 \) gir testen ingen informasjon.

Grensesammenlikningstesten

La \(\{a_n\}\) og \(\{b_n\}\) være følger, og la:

\(\rho = lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} \).

Dersom:

• \(\rho > 0\) og \(\sum_{n=1}^{\infty}b_n\) er divergent, er også \(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) divergent.
• \(\rho < \infty\) og \(\sum_{n=1}^{\infty} b_n\) er konvergent, er også \(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) konvergent.

Hvis ingen av disse tilfellene inntreffer, forteller ikke testen oss noe.

For å bruke denne testen, velger man ofte en rekke man vet om konvergerer eller ikke, som en geometrisk rekke eller p-rekke, til å være \(\sum_{n=1}^{\infty}b_n\).

Alternerende rekke testen

Dersom \(\{a_n\}\) er en strengt synkende og positiv følge som konvergerer mot \(0\), er rekken

\(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n \)

konvergent, og

\(|\sum_{n=k}^{\infty} (-1)^n a_n | \le a_{n+1} \)