Forskjellige integraler

La oss si at du vil finne et utrykk for buelengden til en funksjon \(f(x)\) på ett gitt intervall \([a, b]\). En måte å komme frem til et slikt utrykk er ved å først se på en liten del av funksjonen på et lite delintervall med lengde \(\Delta x\) slik som vist på illustrasjonen under.

*Funka ikke å legge til bilde :/*

Buelengden til \(f(x)\) på det lille intervallet [x_i, x_i+\Delta x] på figuren over kan approksimeres med en linje (tegnet i rødt). For å finne lengden til den røde linjen kan vi tenke på den som hypotenusen i en rettvinklet trekant. Ved å se på figuren ser vi at bredden til denne trekanten er delta x. Fordi stigningstallet til hypotenusen er \(f’(x_i)\), kan høyden til trekanten utrykkes som \(\Delta x f’(x_i)\). Ved å bruke Pythagoras finner vi da at lengden til linjesegmentet er gitt ved

\( \sqrt{(\Delta x f’(x_i)^2 + (\Delta x)^2} \)

\(= \Delta x \sqrt{f’(x_i)^2 + 1} \)

For å nå finne buelengden til \(f(x)\) på hele intervallet \([a,b]\), kan vi partisjonere intervallet \([a,b]\) i \(n\) delintervaller med lengde \(\Delta x\). Vi vet at buelengden til \(f(x)\) på hvert av disse delintervallene kan approksimeres med \Delta x \sqrt{f’(x_i)^2 + 1}, så den totale buelengden til \(f(x))\ vil være summen av lengden i alle delintervallene:

\(L \approx \sum_{i=1}^n \Delta x \sqrt{f’(x_i)^2 + 1} \)

Nå definerer vi en ny funksjon \(g(x)\) som \(g(x) = \sqrt{f’(x)^2 + 1}\). I tillegg lar vi \(n\) gå mot uendelig. Når \(n\) går mot uendelig vil lengden på hvert delintervall gå mot \(0\). Når lengden av delintervallene går mot \(0\) vil den lille delen av \(f(x)\) som er inni intervallet ligne mer og mer på en linje, slik at å approksimere \(f(x)\) som en linje til slutt vil gi helt riktig svar. Derfor kan vi bytte ut \(\approx\) med \(=\). Da får vi:

\( L = lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} g(x_i) \Delta x \)

Dette er jo en Riemann-sum! Derfor kan vi skrive om dette til et integral (hvis du ikke husker hvorfor, se temaside om Riemann-sum!).

\( L = \int_a^b g(x) dx = \int_a^b \sqrt{f’(x)^2 + 1} dx \)

På denne måten kan man regne ut buelengden til en funksjon med et relativt enkelt integral. Integrering kan også brukes til å finne volum og overflateareal. Fremgangsmåten for å finne integraluttrykk for volum og overflateareal er den samme som for buelengden: Vi deler grafen opp i små intervaller, finner en formel for volum, lengde eller areal for hvert intervall, og summerer disse sammen. Deretter bruker vi Riemann-sum for å omforme summen til et integral. Vi vil ikke vise utledningen av integral for volum og overflateareal her, men vi vil vise integralene man kommer frem til.