Intro til derivasjon
Sekant
Tangent
Den deriverte
Som du sikkert la mærke til var sekant-grafen og tangent-grafen fullstendig lik dersom sekanten gikk mellom to punkter som lå tett inntil hverandre. En tangent kan være vanskelig å definere matematisk ut ifra ingenting, men en sekant er kun en linje som går gjennom to punkter, det er lett.
Vi kan uttrykke denne linjen når de to punktene ligger veldig tett inntil hverandre som tangentlinjen. La oss kalle lengden mellom de to punktene \(x_0\) og \(x\) for \(h\).
\[ \begin{align} Sekant(x) &= a x + b = \frac{f(x_0) - f(x)}{x_0 - x} x + f(0) = \frac{f(x+h) - f(x)}{(x+h) - x} x + f(0) = \frac{f(x+h) - f(x)}{h} x + f(0) \\ Tangent(x) &= \lim_{h\rightarrow0}{\frac{f(x+h) - f(x)}{h}} x + f(0) \end{align} \]
Hvis vi ser på kun stigningstallet til tangenten så kaller vi dette den deriverte, \(f'(x)\).
Skrivemåte
Den deriverte har mange skrivemåter, deriblant: \(f'(x)\), \(\dot{f}(t)\), \(\frac{df(x)}{dx}\), \(\frac{\partial f(x)}{\partial x}\), \(f_x (x)\). Disse brukes ofte til hver sine formål.
- \(f'(x)\): [muntlig: "f derivert"] brukes mest for å beskrive en tangents stigningstall, den geometriske tolkningen vi nå har sett på.
- \(\dot{f}(t)\): ["f prikk"] brukes for å notere funksjoner som deriveres med hensyn på tid (merk: \(f\) er her en funksjon av \(t\)).
- \(\frac{df(x)}{dx}\): ["d-f-d-x"] den mest generelle skrivemåten, som kan brukes i nesten alle tilfeller, men er også mest herk å skrive. Den er derimot ikke lov å bruke for funksjoner av flere variabler, da må man bruke:
Videre pensum etter matte 1:
- \(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\): ["f partiellderivert med hensyn på x", "d-f-d-x"] brukes for å beskrive endringsrate til funksjoner som varierer på mer enn kun én variabel. Eksempelvis høydemeter på et fjell gitt av breddegrad \(x\) og lengdegrad \(y\): \(\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}\) er da stigningstallet mot øst. "\(\partial\)" skrives som "\partial" i LaTeX. Å derivere en flervariabel funksjon kalles partiellderivasjon på norsk.
- \(f_x (x,y)\): ["f-x"] brukes i likhet som forrige eksempel oftest på funksjoner av flere variabler, men som kortere notasjon. Eksempelvis for bølgefunksjonen i Schrödingers likning \(\Psi(x,y,z,t)\): \(\Psi_t = \frac{\partial \Psi(x, y, z,t)}{\partial t}\)
- \(\nabla f(\vec{x})\): ["nabla f"] denne skal vi virkelig ikke kødde med enda, men det er verdt å se at den finnes. "\(\nabla\)" kalles "nabla", og er en flerdimensjonal derivasjon. Om du tenker på \(f\) som et fjell gitt av breddegrad \(x_1\) og lengdegrad \(x_2\) vil \(\nabla f(x_1, x_2)\) være en vektor som peker i den bratteste retningen du kan gå, med lengde lik hvor bratt det er.