♡ Taylors Teorem ♡

En \(k\) ganger deriverbar funksjon \(f(x)\) kan approksimeres med polynomet:

\[P(x)= \sum_{n=0}^{k} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n} \]

I dette utrykket betyr \(f^{(n)}\) den n-te derriverte av funksjonen \(f\). \(a\) er hvilken verdi man vil «approksimere rundt». Hvis man for eksempel velger \(a=2\), vil polynomet man lager ligge veldig nærme \(f(x)\) for x-verdier som er nærme \(x=2\).

I veldig mange tilfeller sier man at \(a=0\), siden det gjør regningen mye lettere. Da kaller vi polynomet som blir lagd med en funksjon \(f\), for \(f\) sin Maclaurin-rekke.

Maclaurin-rekken til en funksjon \(f\) er gitt ved polynomet:

\[P(x)= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} \]

Desto flere ledd man tar med i Taylor-rekken til en funksjon, desto bedre blir approksimasjonen. I figuren under avgjør slideren \(n\) hvor mange ledd som blir tatt med. Du kan også dra punktet i origo langs x-aksen for å endre verdien til \(a\).

Her vil vi starte med å vise hvordan man kommer frem til formelen for Maclaurin-rekker, siden det er mye enklere. Når man har formelen for Maclaurin, er det bare å endre noen små ting for å få formelen for Taylor-rekker.

Formelen for Maclaurin-rekker er basert på en enkel regel: den n-te deriverte av polynomet \(P(x)\) skal alltid være lik den n-te deriverte av funksjonen \(f(x\) for \(x=0\). Det vil si at vi har lyst til å lage et polynom P(x) som oppfyller følgende:

\(P(0) = f(0)\)

\(P’(0) = f’(0)\)

\(P’’(0)=f’’(0)\) osv…

Å vise at et polynom som oppfyller disse egenskapene faktisk gir en god approksimasjon for f(x) er litt avansert for oss.

Vi ønsker å lage et polynom med n ledd som oppfyller disse kravene. Alle polynomer med n ledd kan skrives på formen:

\[P(x) = C_0+C_1x+C_2x^2+C_3x^3+\cdots+C_nx^n \]

Nå må vi vite verdien til alle konstantene. Vi starter med å kreve at \(P(0)=f(0)\):

\[P(0) = C_0 = f(0)\]

Som du kan se, blir alle leddene i polynomet 0 bortsett fra \(C_0\), og det gir at \(C_0 = f(0)\). Deretter krever vi at \(P’(0)=f’(0)\):

\[P’(0) = C_1 = f’(0)\]

\[C_1=\frac{f’(0)}{1}\]

Så fortsetter vi med å kreve \(P’’(0)=f’’(0)\):

\[P’’(0) = (2\cdot2)C_2 = f’’(0)\]

\[C_2=\frac{f’’(0)}{2!}\]

Nå begynner du kanskje å se at konstantene følger et mønster:

\[C_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!} \]

(Merk at \(n!\) dukker opp som resultat av deriveringen (Hvis man deriverer \(x^4\) 4 ganger får man \((4!)x\))). Hvis vi setter inn denne formelen for konstantene, kan vi skrive polynomet P(x) som:

\[P(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}\]

Der har vi formelen for Maclaurin-rekker!!

Hvis vi nå bytter ut \(x\) med \((x-a)\), og bytter ut \(0\) med \(a\), vil vi approksimere rundt \(a\) istedenfor \(0\), og vi ender opp med formelen for Taylor-rekker:

\[P(x)= \sum_{n=0}^{k} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n} \]

Dersom du ikke skjønte noe av dette anbefales det sterkt å se 3blue1brown’s YouTube-video om Taylor-rekker.

Disse rekkene dukker ofte opp, og det er derfor lurt å huske dem.

\(\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n=1+x+x^2+x^3+x^4\cdots\)

\(e^{x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3 \cdots\)

\(sin(x)= \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{120}x^5-\frac{1}{5040}x^7\cdots \)

\(cos(x)= \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4-\frac{1}{720}x^6\cdots \)

\(ln(x+1)= \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n} = x - \frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4\cdots \)